主な意味
非常に、大変、ひどく
ニュアンス: 形容詞のawful（ひどい）の意味を残して「ひどいやり方で」という意味もありますが、日常会話では「very」の強調形として「ものすごく」という意味でよく使われます（特にイギリス英語に多い）。
例文（強調）
It's awfully kind of you to help me.
助けていただいて、本当に（大変）ありがとうございます。
例文（ひどく）
She suffered awfully during the long illness.
彼女は長い病気の間、ひどく苦しんだ。
語源
awful + ly (副詞語尾)
類義語 (Synonyms)
terribly(ひどく、非常に)
very(とても)
対義語 (Antonyms)
moderately(適度に)