主な意味
（職務を）果たす、解雇する、放出する、退院させる、放出
ニュアンス: 何かを「外に出す」ことが基本イメージです。兵役や仕事からの解放（退役、解雇）、病院からの退院、ガスや汚水の放出、そして任務の遂行（重荷を下ろす）など、多岐にわたる意味があります。
例文（任務）
He discharged his duties with great care.
彼は細心の注意を払って任務を遂行した。
例文（放出・解雇）
The factory was found to be discharging toxic waste.
その工場は有害廃棄物を放出していることが判明した。
語源
dis (取り除く) + charge (荷、負担)
→ 負担を取り除く = 放出・解放する