主な意味
～を（事実だと）認める，（受け取ったことを）知らせる
ニュアンス: しぶしぶ、あるいは公式に「それが真実である」と認めたり、感謝やお礼の意を込めて反応することを指します。
例文
He acknowledged that he had made a mistake.
彼は自分が間違いを犯したことを認めた。
Please acknowledge receipt of this letter.
この手紙を受け取ったことを（返信などで）知らせてください。
語源
ac (～へ) + knowledge (知識) → 知識として取り入れる
関連語
acknowledgment(名詞：承認、謝辞)