主な意味
（仕事など）を引き受ける、着手する、約束する
ニュアンス: 責任を持って、ある活動や任務を自分の方に「取り込む(take)」こと。特に困難な、あるいは大きな仕事を開始する際に使われます。
例文
The university undertook a study on climate change.
大学は気候変動に関する研究に着手した（引き受けた）。
I cannot undertake that the project will be finished by Monday.
月曜までにプロジェクトが終わるとはお約束（請け合う）できません。
語源
under (下に) + take (取る) → 下に入って支える、引き受ける
類義語 (Synonyms)
commence(開始する)
engage in(従事する)
関連語
undertaker(名詞：葬儀屋（人生最後の仕事を請け負う人）)